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Kurvendiskussion

In der Mathematik werden mit Hilfe der Kurvendiskussion Funktionen auf ihre Eigenschaften untersucht. Ausgehend von der gegebenen Gleichung wird diese durch mathematische Verfahren auf viele Eigenschaften hin geprüft.

Schrittweiser Ablauf einer Kurvendiskussion:

  1. Symmetrie
  2. Verhalten im Unendlichen
  3. Achsenschnittpunkte ermitteln (Nullstellen / Schnittstelle mit y-Achse)
  4. Extrempunkte
  5. Wendepunkte
  6. Monotonie
  7. Krümmungsverhalten
  8. Graph

OSZ_HVL_Ma_Kurvendiskussion_Schema.pdf (= ausführliche Anleitung = kein offizielles Hilfsmittel  /!\ )

Hinweise zur Umsetzung:

zu 1.)
  • Symmetrie zur y-Achse: alle Exponenten des Funktionsterms sind gerade
  • Symmetrie zum Koordinatenursprung: alle Exponenten des Funktionsterms sind ungerade
  • ansonsten keine Symmetrie zur y-Achse bzw. zum Ursprung
siehe Abbildung:
Bild "Ma FOS12:Ma_12_DiffRech_KD00_Symm.jpeg"

zu 2.)
  • Tipp: Arbeiten mit Testwerten für x
  • x gegen minus unendlich: z.B. Ermitteln von f(-1), f(-10), f(-100) --> Aussage treffen
  • x gegen plus unendlich: z.B. Ermitteln von f(1), f(10), f(100) --> Aussage treffen

zu 3.)
  • Nullstellen: f(x) = 0 setzen, dann nach x auflösen
VariantenErmitteln von Lösungen
  • absolutes Glied vorhanden
Fkt. 1. Grades = 1 Lösung, Fkt. 2.Grades = pq-Formel, ab Fkt. 3. Grades = Polynomdivision (oder Horner-Schema)
  • kein absolutes Glied vorhanden
Ausklammern von x aus allen Gliedern; x=0 gefunden; weitere NST im Restterm
  • Fkt. ist biquadratisch
Substituieren von x durch z, NST mit pq-Formel finden; am Ende resubstituieren

Schnittpunkt mit y-Achse: gibt es immer nur einen  /!\  Finden von f(0) =>  Y(0 | f(0))

zu 4.)
  • Extrema bestimmen: = NST von f'(x) finden
  • notwendig: f'(x) = 0 setzen und Lösungen ermitteln
  • hinreichend: mit f''(x) Art der Extrema feststellen; f''(x) < 0 => Maximum; f''(x) > 0 => Minimum
  • nicht vergessen: y-Koordinaten der Extrempunkte errechnen => immer mit f(x)

zu 5.)
  • Wendepunkte bestimmen: = NST von f''(x) finden
  • notwendig: f''(x) = 0 setzen und Lösungen ermitteln
  • hinreichend: mit f'''(x) Art der WP feststellen; f'''(x) ungleich 0 = WP vorhanden; f'''(x) < 0 => R-L-Übergang; f'''(x) > 0 => L-R-Übergang
  • Besonderheit: ist f'''(x) = 0, liegt spezieller WP vor => Sattelpunkt (Tangente = waagerecht)

zu 6.)
Monotonie = Verlauf (= Steigen/Fallen) der Funktion längs der x-Achse beschreiben (von links nach rechts)
  • Rückgriff auf Resultate aus 2.) und 4.): f(x) kommt von plus/minus unendlich; steigt/fällt bis zur ersten Extremstelle; steigt/fällt bis zur zweiten Extremstelle usw. (je nachdem, wie viele Extremstellen ermittelt wurden); geht dann gegen plus/minus unendlich

zu 7.)
Krümmungsverhalten = Art der Krümmung der Funktion längs der x-Achse beschreiben (von links nach rechts)
  • Rückgriff auf Resultate aus 5.) und verallgemeinern: f(x) links-/rechtsgekrümmt bis zur ersten Wendestelle; rechts-/linksgekrümmt bis zur zweiten Wendestelle usw. (je nachdem, wie viele Wendestellen ermittelt wurden)

zu 8.)
Graph = grafische Darstellung des Verlaufs von f(x) in einem Koordinatensystem = Ziel erreicht
  • Verwenden aller Ergebnisse aus 1.) bis 7.): Heranziehen der Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte; gegebenenfalls weitere Koordinatenpaare errechnen (Stichwort: Wertetabelle)
  • Beachte /!\ : Gibt die Aufgabe ein Intervall (einen Bereich) für x vor (z.B: Zeichne von x=-3 bis x=5), so sind die y-Werte für die Randwerte zu errechnen und darzustellen (im Bsp. f(-3) und f(5))

Video: vollständige Kurvendiskussion 1 https://www.youtube.com/watch?v=V5BDSpzucd8
Video: vollständige Kurvendiskussion 2 https://www.youtube.com/watch?v=8dAtL1LFduc
Video: Nullstellen mit dem HORNER-Schema https://www.youtube.com/watch?v=tMehEcEsRsY