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Stochastik 5

Kombinatorik

Sie beschäftigt sich mit dem Bestimmen der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen unterscheidbarer oder nicht unterscheidbarer Objekte (d. h. ohne bzw. mit Wiederholung derselben Objekte sowie ohne oder mit Beachtung ihrer Reihenfolge (d. h. "ungeordnet" bzw . "geordnet").
Bild "Ma FOS12:Ma_12_Zufall_Kombi0.jpg"
PRODUKTREGEL:
Wird ein Zufallsexperiment in k Stufen durchgeführt und gibt es in der ersten Stufe n1, in der weiten Stufe n2, ... , in der k-ten Stufe nk mögliche Ergebnisse, so können insgesamt N = n1 · n2 · ... · nk verschiedene Ergebnisse erzielt werden.
Bsp: Restaurant => 4 Vorspeisen / 6 Hauptspeisen / 3 Desserts   N = 4 · 6 · 3 = 72 mögliche Menüvarianten

PERMUTATION (lat: permutare = vertauschen):
= Anordnung von n Objekten in einer bestimmten Reihenfolge a) ohne Wiederholung b) mit Wiederholung
a) ohne Wiederholung: z.B. Festlegen der Reihenfolge der 4 Läufer bei einem Staffellauf (d.h. alle Objekte unterscheidbar) N = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 = 4! (4 Fakultät)     allgemein: N = n! (n Fakultät)

b) mit Wiederholung: z.B. Anordnungen von 6 farbigen Kugeln in einer Reihe, wenn genau 2 der Kugeln die gleiche Farbe aufweisen (d.h. nicht alle Objekte unterscheidbar, also k Objekte identisch)
daher: n = 6, k = 2
d.h.: N = n! / k!
im Bsp.: N = 6! / 2! = 720 / 2 = 360 mögliche Anordnungen
Zu beachten: Sind von den 6 Kugeln z.B. 2 in einer Farbe, 3 in einer zweiten Farbe und die letzte in einer dritten Farbe, so hat man verschiedene k (k1=2, k2=3 und k3=1) und rechnet wie folgt:
N = 6! / (2!·3!·1!) = 720 / 12 = 60 mögliche Anordnungen

VARIATION:
= Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n Objekten a) mit Wiederholung b) ohne Wiederholung mit Beachten der Reihenfolge
a) mit Wiederholung: Bei einer Variation mit Wiederholung werden aus n Objekten k Objekte unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei Objekte auch mehrfach (also: mit Zurücklegen) ausgewählt werden können.
d.h.: N = n hoch k
Bsp.: vierstellige PIN-Eingabe, n = 10 (Grundziffern von 0 bis 9), k = 4 Stellen der PIN ergibt N = 10 hoch 4 = 10000 Auswahlmöglichkeiten der PIN-Eingabe

b) ohne Wiederholung: Bei einer Variation ohne Wiederholung werden aus einer Menge mit n unterscheidbaren Objekten nacheinander k Objekte mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen gezogen.
d.h.: N = n! / (n - k)!
Bsp.: Dreierwette beim Pferderennen: Wetten auf die richtige Reihenfolge der ersten drei Plätze; n = 12 (teilnehmende Pferde), k = 3 (Plätze) ergibt N = 12! / (12 - 3)! = 12! / 9! = 1320 Möglichkeiten der Belegung der ersten drei Pätze
Hinweis: Bei wissenschaftlichen Taschenrechnern auch möglich: n nPr k (im Bsp.: 12 nPr 3)

KOMBINATION:
= Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n Objekten a) ohne Wiederholung b) mit Wiederholung ohne Beachten der Reihenfolge
a) ohne Wiederholung: Bei einer Kombination ohne Wiederholung werden aus n Objekten k Objekte ohne Beachtung der Reihenfolge ohne Zurücklegen ausgewählt, d.h.:
Bild "Ma FOS12:Ma_12_BinKoeff.jpg"
Bsp.: Lotto "6 aus 49"
Bild "Ma FOS12:Ma_12_BinKoeff_Lotto.jpg"
Hinweis: Bei wissenschaftlichen Taschenrechnern auch möglich: n nCr k (im Bsp.: 49 nCr 6)

b) mit Wiederholung: Bei einer Kombination ohne Wiederholung werden aus einer Menge mit n unterscheidbaren Objekten nacheinander k Objekte mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen, d.h.:
Bild "Ma FOS12:Ma_12_BinKoeff_KmW.jpg"